Fungsi
· Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila
setiap x Î A berelasi R dengan tepat satu y Î B maka R disebut fungsi dari A ke B.
•
Pada gambar yang pertama, merupakan suatu relasi di mana antara
unsur-unsur di himpunan A (Æ) dipasangkan dengan unsur-unsur di B (Æ) tanpa syarat apapun.
•
Sedangkan pada gambar berikutnya relasi antara himpunan A dan B, dengan syarat
unsur-unsur di A yang mempunyai relasi akan berelasi dengan tepat satu unsur di B, dan relasi
seperti itu sesuai definisi di atas disebut fungsi dari himpunan A ke B,
ditulis f : A ® B.
•
Himpunan bagian dari A, di mana setiap unsurnya dipasangkan dengan unsur-unsur
di B disebut daerah definisi fungsi atau domain f, ditulis Df = { x Î A | f : A ® B
terdefinisi}, sehingga Df Í A (baca Df
himpunan bagian dari A atau bisa jadi A sendiri).
•
Himpunan setiap unsur di B yang mempunyai kawan di A disebut daerah nilai atau
range, ditulis Rf = { y Î B | f : A ® B terdefinisi}, sehingga Rf Í B (baca Rf himpunan bagian dari B atau bisa jadi B
sendiri).
•
Selanjutnya x disebut variabel bebas dan y variabel tidak bebas, sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
2.1.2 Operasi Pada Fungsi
· Diberikan skalar real a dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlah f +
g, selisih f - g, hasil kali skalar af , hasil kali fg , dan hasil bagi f/g,
masing-masing didefinisikan sebagai berikut :
(f + g) (x) =
f(x) + g(x) (f – g) (x) =
f(x) – g(x)
(af) (x) = a f(x) (fg) (x) = f(x) g(x)
(f/g) (x) = f(x)
/ g(x) asal g(x) ¹ 0.
Daerah
definisi masing-masing fungsi di atas adalah irisan daerah definisi f dan g,
kecuali untuk (f/g),
Df/g = { x Î Df Ç Dg
| g(x) ¹ 0}
2.1.3.
Fungsi Invers
•
Diberikan fungsi f : X ® Y . Kebalikan (invers) fungsi f adalah
relasi g dari Y ke X. Pada umumnya, invers suatu fungsi
belum tentu merupakan fungsi.
•
Apabila f : X ® Y merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah
ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi
invers, ditulis dengan notasi f - 1 .
•
Sehingga x = f – 1 (y) Û y = f(x)
dengan Df – 1 = Rf dan Rf -1 = Df.
2.1.4. Fungsi Komposisi
- Perhatikan fungsi y = Ö x2 + 1 . Apabila didefinisikan y = f(u) = Ö u dan u = g(x) = x2 + 1 dan maka dengan menggunakan substitusi berikut akan diperoleh y = f(u) = f(g(x)) = Öx2 + 1 , yaitu rumus fungsi awal yang disebutkan. Proses demikian ini disebut komposisi.
•
Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang x Î Dg . Apabila g(x) Î Df maka f dapat dikerjakan pada
g(x) dan diperoleh fungsi baru h(x) = f(g(x)), dan disebut fungsi komposisi
dari f dan g, ditulis f o g .
•
Definisi 2.1.7. Fungsi komposisi dari f dan g ditulis f
o g , didefinisi kan sebagai ( f o g )(x) = f(g(x)),
dengan domain : D f o g
= { x Î Dg | g(x) Î Df}.
2.2.1. Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Cartesius
Jika
diberikan fungsi f, himpunan {(x,y) | y = f(x), x Î Df } disebut grafik fungsi f.
- Dalam sistem koordinat Kartesius, fungsi dikelompokkan dalam fungsi aljabar dan fungsi transenden.
- Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.
- Sedangkan fungsi transenden, antara lain fungsi trigonometri, fungsi algoritma, eksponen dsb.
2.2.2. Beberapa Jenis
Fungsi
- Fungsi Aljabar meliputi :Fungsi rasional, Fungsi bulat (fungsi suku banyak), Fungsi pecah, Fungsi irasional.
- Fungsi suku banyak (polinum) : fungsi banyak derajad- n mempunyai persamaan sbb. : f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an xn dengan n bilangan bulat tak negatif , dan a0, a1, a2, . . . ,an dengan an ¹ 0.
3. Fungsi konstan : f(x) = C, grafik
fungsi ini merupakan garis lurus sejajar sumbu
X.
4. Fungsi linier : f(x) = mx + n,
grafik fungsi ini merupakan garis lurus dengan gradien m dan melalui titik (0,
n).
5.Fungsi kuadrat : f(x) = ax2
+ bx + c, a ¹ 0, grafik fungsi ini adalah parabola yang posisinya
tergantung harga diskriminan d = b2 – 4ac.
6. Fungsi kubik : f(x) = a3x3
+ a2x2 + a1x
+ a0 dengan a3 ¹ 0.
- Fungsi Irasional : Beberapa contoh fungsi irasional beserta grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut ini.
- Fungsi transenden : meliputi fungsi trigonometri, fungsi siklometri, fungsi eksponen, dan fungsi logaritma.
- Fungsi trigonometri
- Fungsi pecah : fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua suku banyak.
- Apabila r menyatakan jarak titik P ke O dan q menyatakan besar sudut antara OP dengan sumbu X (arah berlawanan dengan jarum jam), maka berturut-turut didefinisikan sebagai berikut :
tan q = y/x cot
q = x/y
sec q = r/x csc
q = r/y
Dari definisi
mudah ditunjukkan hubungan-hubungan berikut : tan q = sin q / cos q, cot q = cos q / sin q, sec q = 1 / cos q
csc q = 1 / sin q, sin2 q + cos2 q = 1
1
+ tan2 q = sec2 q, 1 +
cot2 q = csc2 q
Dalam geometri besar sudut diukur dalam derajat, dalam kalkulus besar
sudut dinyatakan dalam radian. Besar
sudut satu radian sama dengan besar sudut pusat juring lingkaran OPQ
yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran (perhatikan gambar
berikut). Sehingga 2p radian = 3600 atau 1 radian = 1800 / p derajad
Fungsi siklometri
•
Untuk – p £ x £ 2p, grafik y
= sin x dan y = cos x
berpotongan di x = -p/4 dan x
= 5p/4.
ii). Fungsi
Siklometri
- Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri juga merupakan suatu fungsi, yang dikenal sebagai fungsi siklometri. Invers fungsi sin x adalah sin -1 x atau arc sin x dan didefinisikan sbb. :
y = sin -1 x = arc sin x Û x
= sin y, y Î [-p/2, p/2]
y = cos -1x = arc cos x Û x = cos y, y Î [0, p]
y = tan -1x = arc tan x Û x
= tan y, y Î (-p/2, p/2)
y = cot -1x = arc cot x Û x
= cot y, y Î (0, p)
y = sec -1x = arc sec x Û x =
sec y, y Î (-p/2, p/2)
y = csc -1x
= arc csc x Û x = csc y, y Î (0, p)
Komentar
Posting Komentar